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@ -1,161 +0,0 @@
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category: Algorithms & Data Structures
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name: Asymptotic Notation
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contributors:
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- ["Jake Prather", "http://github.com/JakeHP"]
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translators:
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- ["Carolina Knoll", "http://github.com/carolinaknoll"]
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lang: pt-br
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# Aprenda X em Y minutos
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## Onde X=Notação Assintótica
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# Notações Assintóticas
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## O que são?
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Notações assintóticas são notações matemáticas que nos permitem analisar tempo de execução
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de um algoritmo, identificando o seu comportamento de acordo como o tamanho de entrada para
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o algoritmo aumenta. Também é conhecido como taxa de "crescimento" de um algoritmo. O algoritmo
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simplesmente se torna incrivelmente lento conforme o seu tamanho aumenta? Será que pode-se na
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maior parte manter o seu tempo de execução rápido mesmo quando o tamanho de entrada aumenta?
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A notação assintótica nos dá a capacidade de responder a essas perguntas.
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## Além desta, existem outras alternativas para responder a essas perguntas?
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Uma forma seria a de contar o número de operações primitivas em diferentes tamanhos de entrada.
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Embora esta seja uma solução válida, a quantidade de trabalho necessário, mesmo para algoritmos
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simples, não justifica a sua utilização.
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Outra maneira é a de medir fisicamente a quantidade de tempo que leva para se executar um algoritmo
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de diferentes tamanhos. No entanto, a precisão e a relatividade (já que tempos obtidos só teriam
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relação à máquina em que eles foram testados) deste método estão ligadas a variáveis ambientais,
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tais como especificações de hardware, poder de processamento, etc.
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## Tipos de Notação Assintótica
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Na primeira seção deste documento nós descrevemos como uma notação assintótica identifica o comportamento
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de um algoritmo como as alterações de tamanho de entrada (input). Imaginemos um algoritmo como uma função
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f, n como o tamanho da entrada, e f (n) sendo o tempo de execução. Assim, para um determinado algoritmo f,
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com tamanho de entrada n você obtenha algum tempo de execução resultante f (n). Isto resulta num gráfico,
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em que o eixo Y representa o tempo de execução, o eixo X é o tamanho da entrada, e os pontos marcados são
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os resultantes da quantidade de tempo para um dado tamanho de entrada.
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Pode-se rotular uma função ou algoritmo com uma notação assintótica de diversas maneiras diferentes.
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Dentre seus exemplos, está descrever um algoritmo pelo seu melhor caso, pior caso, ou caso equivalente.
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O mais comum é o de analisar um algoritmo pelo seu pior caso. Isso porque você normalmente não avaliaria
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pelo melhor caso, já que essas condições não são as que você está planejando. Um bom exemplo disto é o de
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algoritmos de ordenação; especificamente, a adição de elementos a uma estrutura de tipo árvore. O melhor
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caso para a maioria dos algoritmos pode ser tão simples como uma única operação. No entanto, na maioria
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dos casos, o elemento que você está adicionando terá de ser ordenado de forma adequada através da árvore,
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o que poderia significar a análise de um ramo inteiro. Este é o pior caso, e é por ele que precisamos seguir.
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### Tipos de funções, limites, e simplificação
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Função Logaritmica - log n
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Função Linear - an + b
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Função Quadrática - an^2 + bn + c
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Função Polinomial - an^z + . . . + an^2 + a*n^1 + a*n^0, onde z é uma constante
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Função Exponencial - a^n, onde a é uma constante
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Estas são algumas classificações básicas de crescimento de função usados em várias notações. A lista
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começa com a função crescimento mais lento (logarítmica, com tempo de execução mais rápido) e vai até
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a mais rápida (exponencial, com tempo de execução mais lento). Observe que 'n', ou nossa entrada,
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cresce em cada uma dessas funções, e o resultado claramente aumenta muito mais rapidamente em função
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quadrática, polinomial e exponencial, em comparação com a logarítmica e a linear.
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Uma observação de boa importância é que, para as notações a serem discutidas, deve-se fazer o melhor
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para utilizar termos mais simples. Isto significa desrespeitar constantes, e simplificar termos de
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ordem, porque, como o tamanho da entrada (ou n no nosso f (n) exemplo) aumenta infinitamente (limites
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matemáticos), os termos em ordens mais baixas e constantes são de pouca ou nenhuma importância. Dito
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isto, se você possui constantes com valor 2^9001, ou alguma outra quantidade ridícula, inimaginável,
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perceberá que a simplificação distorcerá a precisão de sua notação.
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Já que nós queremos a forma mais simples, vamos modificar nossas funções um pouco.
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Logaritmica - log n
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Linear - n
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Quadrática - n^2
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Polinomial - n^z, onde z é uma constante
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Exponencial - a^n, onde a é uma constante
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### O Grande-O
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Grande-O, geralmente escrita como O, é uma Notação Assintótica para o pior caso para uma dada função. Digamos
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que `f(n)` é o tempo de execução de seu algoritmo, e `g(n)` é uma complexidade de tempo arbitrário que você está
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tentando se relacionar com o seu algoritmo. `f(n)` será O(g(n)), se, por qualquer constante real c (c > 0),
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`f(n)` <= `c g(n)` para cada tamanho de entrada n (n > 0).
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*Exemplo 1*
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f(n) = 3log n + 100
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g(n) = log n
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É `f(n)` um O(g(n))?
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É 3 `log n + 100` igual a O(log n)?
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Vamos checar na definição de Grande-O.
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3log n + 100 <= c * log n
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Existe alguma constante c que satisfaça isso para todo n?
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3log n + 100 <= 150 * log n, n > 2 (indefinido em n = 1)
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Sim! A definição de Grande-O foi satisfeita. Sendo assim, `f(n)` é O(g(n)).
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*Exemplo 2*
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f(n) = 3 * n^2
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g(n) = n
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É `f(n)` um O(g(n))?
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É `3 * n^2` um O(n)?
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Vamos ver na definição de Grande-O.
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3 * n^2 <= c * n
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Existe alguma constante que satisfaça isso para todo n?
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Não, não existe. `f(n)` NÃO É O(g(n)).
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### Grande-Omega
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Grande-Omega, comumente escrito como Ω, é uma Notação Assintótica para o melhor caso, ou
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uma taxa de crescimento padrão para uma determinada função.
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`f(n)` é Ω(g(n)), se, por qualquer constante c real (c > 0), `f(n)` é >= `c g(n)` para cada
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tamanho de entrada n (n > 0).
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Sinta-se livre para pesquisar recursos adicionais e obter mais exemplos sobre este assunto!
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Grande-O é a notação primária utilizada para tempo de execução de algoritmos, de modo geral.
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### Notas de Finalização
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É complicado exibir este tipo de assunto de forma tão curta, então é definitivamente recomendado
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pesquisar além dos livros e recursos on-line listados. Eles serão capazes de analisar o assunto com
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uma profundidade muito maior, além de ter definições e exemplos. Mais sobre onde X="Algoritmos e
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Estruturas de Dados" está a caminho: Haverá conteúdo focado na análise de exemplos de códigos reais
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em breve.
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## Livros
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* [Algorithms] (http://www.amazon.com/Algorithms-4th-Robert-Sedgewick/dp/032157351X)
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* [Algorithm Design] (http://www.amazon.com/Algorithm-Design-Foundations-Analysis-Internet/dp/0471383651)
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## Recursos Online
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* [MIT] (http://web.mit.edu/16.070/www/lecture/big_o.pdf)
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* [KhanAcademy] (https://www.khanacademy.org/computing/computer-science/algorithms/asymptotic-notation/a/asymptotic-notation)
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