--- category: Algorithms & Data Structures name: Lambda Calculus contributors: - ["Max Sun", "http://github.com/maxsun"] - ["Yan Hui Hang", "http://github.com/yanhh0"] translators: - ["Maoyin Sun", "https://github.com/simonmysun"] --- # Lambda 演算 Lambda 演算(lambda calculus, λ-calculus), 最初由[阿隆佐·邱奇][]([Alonzo Church][])提出, 是世界上最小的编程语言. 尽管没有数字, 字符串, 布尔或者任何非函数的数据类型, lambda 演算仍可以表示任何图灵机. [阿隆佐·邱奇]: https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%98%BF%E9%9A%86%E4%BD%90%C2%B7%E9%82%B1%E5%A5%87 [Alonzo Church]: https://en.wikipedia.org/wiki/Alonzo_Church Lambda 演算由三种元素组成: **变量**(variables)、**函数**(functions)和**应用**(applications)。 | 名称 | 语法 | 示例 | 解释 | |------|----------------------|-----------|--------------------------------------------------| | 变量 | `<变量名>` | `x` | 一个名为"x"的变量 | | 函数 | `λ<参数>.<函数体>` | `λx.x` | 一个以"x"(前者)为参数、以"x"(后者)为函数体的函数 | | 应用 | `<函数><变量或函数>` | `(λx.x)a` | 以"a"为参数调用函数"λx.x" | 最基本的函数为恒等函数: `λx.x`, 它等价于`f(x) = x`. 第一个"x"为函数的参数, 第二个为函数体. ## 自由变量和约束变量: - 在函数`λx.x`中, "x"被称作约束变量因为它同时出现在函数体和函数参数中. - 在`λx.y`中, "y"被称作自由变量因为它没有被预先声明. ## 求值: 求值操作是通过[β-归约][]([β-Reduction][])完成的, 它本质上是词法层面上的替换. [β-归约]: https://zh.wikipedia.org/wiki/%CE%9B%E6%BC%94%E7%AE%97#'%22%60UNIQ--postMath-0000006F-QINU%60%22'-%E6%AD%B8%E7%B4%84 [β-Reduction]: https://en.wikipedia.org/wiki/Lambda_calculus#Beta_reduction 当对表达式`(λx.x)a`求值时, 我们将函数体中所有出现的"x"替换为"a". - `(λx.x)a`计算结果为: `a` - `(λx.y)a`计算结果为: `y` 你甚至可以创建高阶函数: - `(λx.(λy.x))a`计算结果为: `λy.a` 尽管 lambda 演算传统上仅支持单个参数的函数, 但我们可以通过一种叫作[柯里化][]([Currying][])的技巧创建多个参数的函数. [柯里化]: https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%9F%AF%E9%87%8C%E5%8C%96 [Currying]: https://en.wikipedia.org/wiki/Currying - `(λx.λy.λz.xyz)`等价于`f(x, y, z) = ((x y) z)` 有时`λxy.`与`λx.λy.`可以互换使用. ---- 认识到传统的 **lambda 演算没有数字, 字符或者任何非函数的数据类型**很重要. ## 布尔逻辑: 在 lambda 演算中没有"真"或"假". 甚至没有 1 或 0. 作为替换: `T`表示为: `λx.λy.x` `F`表示为: `λx.λy.y` 首先, 我们可以定义一个"if"函数`λbtf`, 它当`b`为真时返回`t`, `b`为假时返回`f` `IF`等价于: `λb.λt.λf.b t f` 通过`IF`, 我们可以定义基本的布尔逻辑运算符: `a AND b`等价于: `λab.IF a b F` `a OR b`等价于: `λab.IF a T b` `NOT a`等价于: `λa.IF a F T` *注意: `IF a b c`本质上指: `IF((a b) c)`* ## 数字：尽管 lambda 演算中没有数字, 我们还可以用[邱奇编码][]([Church numerals][])将数字嵌入到 lambda 演算中. [邱奇编码]: https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%82%B1%E5%A5%87%E7%BC%96%E7%A0%81 [Church numerals]: https://en.wikipedia.org/wiki/Church_encoding 对于任意数字 n: n = λf.fⁿ 所以: `0 = λf.λx.x` `1 = λf.λx.f x` `2 = λf.λx.f(f x)` `3 = λf.λx.f(f(f x))` 要增加一个邱奇数, 我们使用后继函数`S(n) = n + 1`: `S = λn.λf.λx.f((n f) x)` 使用后继函数, 我们可以定义加法: `ADD = λab.(a S)b` **挑战**: 试定义乘法函数! ## 变得更小: SKI, SK 和 Iota ### SKI 组合子演算令 S, K, I 为下列函数: `I x = x` `K x y = x` `S x y z = x z (y z)` 我们可以将 lambda 演算中的表达式转换为 SKI 组合子演算中的表达式: 1. `λx.x = I` 2. `λx.c = Kc` 3. `λx.(y z) = S (λx.y) (λx.z)` 以邱奇数 2 为例: `2 = λf.λx.f(f x)` 对于里面的部分 `λx.f(f x)`: ``` λx.f(f x) = S (λx.f) (λx.(f x)) (case 3) = S (K f) (S (λx.f) (λx.x)) (case 2, 3) = S (K f) (S (K f) I) (case 2, 1) ``` 所以: ``` 2 = λf.λx.f(f x) = λf.(S (K f) (S (K f) I)) = λf.((S (K f)) (S (K f) I)) = S (λf.(S (K f))) (λf.(S (K f) I)) (case 3) ``` 对于第一个参数`λf.(S (K f))`有: ``` λf.(S (K f)) = S (λf.S) (λf.(K f)) (case 3) = S (K S) (S (λf.K) (λf.f)) (case 2, 3) = S (K S) (S (K K) I) (case 2, 3) ``` 对于第二个参数`λf.(S (K f) I)`有： ``` λf.(S (K f) I) = λf.((S (K f)) I) = S (λf.(S (K f))) (λf.I) (case 3) = S (S (λf.S) (λf.(K f))) (K I) (case 2, 3) = S (S (K S) (S (λf.K) (λf.f))) (K I) (case 1, 3) = S (S (K S) (S (K K) I)) (K I) (case 1, 2) ``` 综上: ``` 2 = S (λf.(S (K f))) (λf.(S (K f) I)) = S (S (K S) (S (K K) I)) (S (S (K S) (S (K K) I)) (K I)) ``` 如果展开这个表达式, 我们最终又会得到邱奇数 2 的相同的表达式. ### SK 组合子演算 SKI 组合子演算还可以进一步简化. 我们可以通过`I = SKK`移除 I 组合子. 我们可以将所有的 `I` 替换为 `SKK`. ### ι 组合子 SK 组合子仍不是最简的. 定义: ``` ι = λf.((f S) K) ``` 我们有: ``` I = ιι K = ι(ιI) = ι(ι(ιι)) S = ι(K) = ι(ι(ι(ιι))) ``` ## 更多阅读: 1. [A Tutorial Introduction to the Lambda Calculus](http://www.inf.fu-berlin.de/lehre/WS03/alpi/lambda.pdf)(英文) 2. [Cornell CS 312 Recitation 26: The Lambda Calculus](https://courses.cs.cornell.edu/cs312/2008sp/recitations/rec26.html)(英文) 3. [Wikipedia - Lambda Calculus](https://en.wikipedia.org/wiki/Lambda_calculus)(英文) 4. [Wikipedia - SKI combinator calculus](https://en.wikipedia.org/wiki/SKI_combinator_calculus)(英文) 5. [Wikipedia - Iota and Jot](https://en.wikipedia.org/wiki/Iota_and_Jot)(英文) 6. [λ演算 - 维基百科，自由的百科全书](https://zh.wikipedia.org/wiki/SKI%E7%BB%84%E5%90%88%E5%AD%90%E6%BC%94%E7%AE%97) 7. [SKI组合子演算 - 维基百科，自由的百科全书](https://zh.wikipedia.org/wiki/SKI%E7%BB%84%E5%90%88%E5%AD%90%E6%BC%94%E7%AE%97)