Programação Dinâmica

Introdução

Programação Dinâmica é uma técnica poderosa utilizada para resolver uma classe particular de problemas como veremos. A ideia é bastante simples, se você solucionou um problema com uma dada entrada, então salve o resultado para referência futura, e também para evitar resolver o mesmo problema novamente.

Sempre se lembre!! "Aqueles que não conseguem lembrar o passado estão condenados a repeti-lo"

Maneiras de Solucionar tais Problemas

Top-Down (De cima para baixo): Começe solucionando o problema quebrando-o em partes. Se você perceber que o problema já foi resolvido, então simplemente pegue a resposta salva. Se ainda não foi resolvido, solucione-o e salve a resposta. Isso é geralmente fácil de pensar e muito intuitivo. É geralmente referenciado como Memorização.
Bottom-Up (De baixo para cima): Analise o problema e veja a ordem em que os subproblemas são resolvidos e comece a solucionar dos problemas mais triviais, até o problema dado. Neste processo, é garantido que os subproblemas são resolvidos antes de resoler o problema. Isto é referenciado como Programação Dinâmica.

Exemplo de Programação Dinâmica

O problema da subsequência crescente máxima consiste em encontrar a maior subsequência crescente de uma dada sequência. Dada uma sequência S= {a1 , a2 , a3, a4, ... , an-1, an} nós temos que encontrar o maior subconjunto de forma que para todo j e i, j < i no subconjunto aj < ai. Antes de mais nada nós temos que encontrar o valor das maiores subsequências (LSi) para cada índice i com o último elemento da sequência sendo ai. Então a maior LSi será a maior subsequência na sequência dada. Para começar LSi é atribuído a um pois ai é elemento da sequência (último elemento). Então para todo j tal que j < i e aj < ai, nós procuramos o maior LSj e o adicionamos a LSi. Portanto o algoritmo tem complexidade de tempo O(n2). O pseudocódigo para procurar o comprimento da subsequência crescente máxima: A complexidade desse algoritmo poderia ser reduzida utilizando uma estrutura de dados melhor que um array. Armazenando o array antecedente e uma variável como maiorSequenciasAteAgora e seu índice ajudariam a poupar muito tempo. Um conceito similar poderia ser aplicado ao procurar o maior caminho em um grafo acíclico dirigido.

 for i=0 to n-1
            LS[i]=1
            for j=0 to i-1
                        if (a[i] >  a[j] and LS[i]<LS[j])
                                    LS[i] = LS[j]+1
 for i=0 to n-1
            if (largest < LS[i])

Alguns Problemas Famosos de Programação Dinâmica

Floyd Warshall Algorithm - Tutorial and C Program source code:http://www.thelearningpoint.net/computer-science/algorithms-all-to-all-shortest-paths-in-graphs---floyd-warshall-algorithm-with-c-program-source-code 

Integer Knapsack Problem - Tutorial and C Program source code: http://www.thelearningpoint.net/computer-science/algorithms-dynamic-programming---the-integer-knapsack-problem 

Longest Common Subsequence - Tutorial and C Program source code : http://www.thelearningpoint.net/computer-science/algorithms-dynamic-programming---longest-common-subsequence

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