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Algorithms & Data Structures	Set theory

集合论是数学的一个分支，研究集合、它们的运算和它们的性质。

• 集合由不重复的项组成。

基本符号

运算符

• 并运算符，∪，表示“或”；
• 交运算符，∩，表示“且”；
• 差运算符，\，表示“不包括”；
• 补运算符， '，表示补集;
• 叉积运算符，×，表示笛卡尔积。

限定词

• 冒号限定词， :，表示“使得”；
• 从属限定词，∈，表示“属于”；
• 子集限定词， ⊆, 表示“是……的子集”;
• 真子集限定词， ⊂，表示“是……的真子集”。

重要的集合

• ∅， 空集，即不包含任何元素的集合；
• ℕ，自然数集；
• ℤ，整数集；
• ℚ，有理数集；
• ℝ，实数集。

关于以上集合，有如下几点需要注意：

1. 空集是其本身的子集（并且也是任何其他集合的子集），即便空集不包含任何项；
2. 数学家们对于零是否为自然数的看法通常并不统一，教科书一般会明确说明作者是否认为零是自然数。

基数

集合的基数，或者说大小，由该集合中的项目数量决定。基数运算符为 |...|。

例如，若 S = { 1, 2, 4 }，则 |S| = 3。

空集

• 可以在集合符号中使用不成立的条件来构造空集，例如，∅ = { x : x ≠ x }，或 ∅ = { x : x ∈ N, x < 0 }；
• 空集总是唯一的（即，有且只有一个空集）；
• 空集是所有集合的子集；
• 空集的基数为 0，即， |∅| = 0。

集合的表示

集合的逐项构造

集合可以通过包含其全部项的列表逐项生成。例如，S = { a, b, c, d }。

只要构成集合的项清楚，长列表可以用省略号缩短。例如，E = { 2, 4, 6, 8, ... } 显然为所有偶数构成的集合，它包含无穷多项，虽然我们只显式写出了其中四项。

集合构造器

集合构造器符号是构造集合的一种更具描述性的方式。它依赖于一个主语和一个谓词，使得 S = { 主语 : 谓词 }。 例如，

A = { x : x 是元音字母 } = { a, e, i, o, u, y}
B = { x : x ∈ N, x < 10 } = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
C = { x : x = 2k, k ∈ N } = { 0, 2, 4, 6, 8, ... }

有时，谓语可能会 "漏 "到主语中，例如，

D = { 2x : x ∈ N } = { 0, 2, 4, 6, 8, ... }

关系

从属关系

• 如果值 a 包含在集合 A 中，那么我们说 a 属于 A，并用符号表示为 a ∈ A。
• 如果值 a 不包含于集合 A 中，那么我们说 a 不属于 A，并用符号表示为 a ∉ A。

相等关系

• 如果两个集合包括相同的项，那么我们说这两个集合相等，例如，A = B。
• 集合的相等关系于顺序无关，例如， { 1, 2, 3, 4 } = { 2, 3, 1, 4 }。
• 集合中的元素不能重复, e.g. { 1, 2, 2, 3, 4, 3, 4, 2 } = { 1, 2, 3, 4 }。
• 集合 A 与 B 相等当且仅当A ⊆ B 且 B ⊆ A。

特殊集合

幂集

• 令 A 为任意集合。幂集指的是包括了 A 的所有子集的集合，记作 P(A)。如果集合 A 由 2n 个元素组成，那么 P(A) 中有 2^n 个元素。

P(A) = { x : x ⊆ A }

两个集合的运算

并

给定集合 A 和 B，两个集合的并由出现在 A 或 B 中的项构成，记作 A ∪ B。

A ∪ B = { x : x ∈ A ∪ x ∈ B }

交

给定集合 A 和 B，两个集合的交由出现在 A 和 B 中的项构成，记作 A ∩ B。

A ∩ B = { x : x ∈ A, x ∈ B }

差

给定集合 A 和 B，A 对于 B 的集合差指的是属于 A 但不属于 B 的每一项。

A \ B = { x : x ∈ A, x ∉ B }

对称差

给定集合 A 和 B，对称差指的是属于 A 或 B 但不属于它们交集的所有项。

A △ B = { x : ((x ∈ A) ∩ (x ∉ B)) ∪ ((x ∈ B) ∩ (x ∉ A)) }

A △ B = (A \ B) ∪ (B \ A)

笛卡尔积

给定集合 A 和 B，A 和 B 的笛卡尔积由 A 和 B 的项的所有组合构成。

A × B = { (x, y) | x ∈ A, y ∈ B }