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Cálculo Lambda
Cálculo Lambda (cálculo-λ), originalmente criada por Alonzo Church, é a menor linguagem de programação do mundo. Composta apenas por funções, sem números, texto, booleans, ou qualquer outro tipo, apesar dessa limitação, cálculo lambda é capaz de representar qualquer Máquina de Turing!
Cálculo lambda é composto por 3 elementos: variáveis, funções e aplicações.
| Nome | Sintaxe | Exemplo | Explicação |
|---|---|---|---|
| Variável | <nome> |
x |
uma variável chamada "x" |
| Função | λ<parâmetro>.<corpo> |
λx.x |
uma função com parâmetro "x" e corpo "x" |
| Aplicação | <função><variável ou função> |
(λx.x)a |
aplicando a função "λx.x" ao argumento "a" |
A função mais simples é a função indentidade: λx.x equivalente a f(x) = x.
O primeiro "x" é o argumento da função, e o segundo o corpo da função.
Variáveis Livres e Ligadas:
- Na função
λx.x, "x" é uma variável ligada porque ela está no corpo e em um dos parâmetros da função. - Na função
λx.y, "y" é uma variável livre porque ela não foi definida anteriormente.
Avaliação:
Avaliação é realizada por Redução-β, que é essencialmente substituição léxica
Ao avaliar (λx.x)a, todo "x" no corpo da função é substituído por "a".
(λx.x)aavalia para:a(λx.y)aavalia para:y
Você ainda pode criar funções de ordem superior
(λx.(λy.x))aavalia para:λy.a
Tradicionalmente funções no cálculo lambda possuem um único parâmetro, porém usando a técnina de currying podes criar funções com múltiplos argumentos.
(λx.λy.λz.xyz)equivale af(x, y, z) = ((x y) z)
Às vezes λxy.<corpo> é usado como notação para: λx.λy.<corpo>
É importante ressaltar que cálculo lambda não tem números, carácteres, ou qualquer tipo que não seja uma função!
Lógica Booleana:
Cálculo lambda não tem booleans, valores lógicos de "verdade" e "falso".
No lugar temos:
T representado por: λx.λy.x
F representado por: λx.λy.y
TeFpara Verdade e Falso respectivamente.
Assim representamos os operadores lógicos:
Não a como: λa.a F T
a E b como: λa.λb.a b F
a OU b como: λa.λb.a T b
Números:
Apesar do cálculo lambda não ter números, podemos representa-los usando numerais Church.
Para todo número n: n = λf.fn assim:
0 = λf.λx.x
1 = λf.λx.f x
2 = λf.λx.f(f x)
3 = λf.λx.f(f(f x))
Para incrementar um numeral Church,
usamos a função sucessora S(n) = n + 1 definida como:
S = λn.λf.λx.f((n f) x)
Usando-a definimos a função soma:
SOMA = λab.(a S)b
Desafio: defina sua própria função de multiplicação!
Ainda Menor: SKI, SK E Iota
Cálculo Combinador SKI
Seja, S, K, I as funções seguintes:
I x = x
k x y = x
S x y z = x z (y z)
Podemos converter uma expressão no cálculo lambda para uma no cálculo combinador SKI:
λx.x = Iλx.c = Kcdesde quexnão ocorra livre emcλx.(y z) = S (λx.y) (λx.z)
Exemplo com numeral church 2:
2 = λf.λx.f(f x)
Para a parte interna λx.f(f x):
λx.f(f x)
= S (λx.f) (λx.(f x)) (caso 3)
= S (K f) (S (λx.f) (λx.x)) (caso 2, 3)
= S (K f) (S (K f) I) (caso 2, 1)
Então:
2
= λf.λx.f(f x)
= λf.(S (K f) (S (K f) I))
= λf.((S (K f)) (S (K f) I))
= S (λf.(S (K f))) (λf.(S (K f) I)) (caso 3)
Para o primeiro argumento λf.(S (K f)):
λf.(S (K f))
= S (λf.S) (λf.(K f)) (caso 3)
= S (K S) (S (λf.K) (λf.f)) (caso 2, 3)
= S (K S) (S (K K) I) (caso 2, 3)
Para o segundo argumento λf.(S (K f) I):
λf.(S (K f) I)
= λf.((S (K f)) I)
= S (λf.(S (K f))) (λf.I) (caso 3)
= S (S (λf.S) (λf.(K f))) (K I) (caso 2, 3)
= S (S (K S) (S (λf.K) (λf.f))) (K I) (caso 1, 3)
= S (S (K S) (S (K K) I)) (K I) (caso 1, 2)
Juntando-os:
2
= S (λf.(S (K f))) (λf.(S (K f) I))
= S (S (K S) (S (K K) I)) (S (S (K S) (S (K K) I)) (K I))
Expandindo isso, finalizamos com a mesma expressão para o numeral Church 2.
Cálculo Combinador SK
O cálculo combinador SKI pode ser reduzido ainda mais.
Ao notar que I = SKK, podemos remover o combinador I
substituindo-o por SKK.
Combinador Iota
Cálculo combinador SK ainda não é mínimo. Definindo:
ι = λf.((f S) K)
Temos:
I = ιι
K = ι(ιI) = ι(ι(ιι))
S = ι(K) = ι(ι(ι(ιι)))