mirror of
https://github.com/adambard/learnxinyminutes-docs.git
synced 2024-12-23 17:41:41 +00:00
131 lines
5.3 KiB
Markdown
131 lines
5.3 KiB
Markdown
---
|
||
contributors:
|
||
- ["Andrew Ryan Davis", "https://github.com/AndrewDavis1191"]
|
||
translators:
|
||
- ["Bárbara Luz", "https://github.com/barbluz"]
|
||
---
|
||
|
||
Teoria de conjuntos é uma área da matemática que estuda conjuntos, suas operações e propriedades.
|
||
- Um conjunto é uma coleção de itens disjuntos.
|
||
|
||
## Símbolos básicos
|
||
|
||
### Operações
|
||
- a operação de união `∪`, significa "ou"
|
||
- a operação de interseção `∩`, que significa "e"
|
||
- a operação de exclusão `\`, significa "sem" ou "menos"
|
||
- a operação de conjunto complementar `'`, que significa "o inverso de"
|
||
- a operação de produto cartesiano `×`,que significa "o produto cartesiano de"
|
||
|
||
### Outros símbolos
|
||
- `:` ou `|`, símbolos que significam "tal que"
|
||
- o símbolo de pertencimento `∈`, que significa "pertence a"
|
||
- o símbolo `⊆`, que significa "subconjunto de" (neste caso, o subconjunto pode ser igual ao conjunto)
|
||
- o símbolo `⊂`, que significa "subconjunto próprio" (neste caso, o subconjunto não pode ser igual ao conjunto)
|
||
|
||
### Conjuntos canônicos
|
||
- `∅`, o conjunto vazio, isto é, o conjunto que não possui itens
|
||
- `ℕ`, o conjunto de todos os números naturais
|
||
- `ℤ`, o conjunto de todos os números inteiros
|
||
- `ℚ`, o conjunto de todos os números racionais
|
||
- `ℝ`, o conjunto de todos os números reais
|
||
|
||
Existem algumas ressalvas sobre os conjuntos canônicos:
|
||
- Apesar de o conjunto vazio não conter itens, o conjunto vazio é subconjunto de si mesmo (e portanto de todos os outros conjuntos)
|
||
- Matemáticos geralmente não concordam sobre o zero ser um número natural e os livros tipicamente explicitam se o autor considera ou não o zero como um número natural
|
||
|
||
|
||
### Cardinalidade
|
||
A cardinalidade (ou tamanho) de um conjunto é determinado pela quantidade de itens no conjunto. O operador de cardinalidade é `|...|`
|
||
|
||
Por exemplo, se `S = {1, 2, 4}`, então `|S| = 3`.
|
||
|
||
### O Conjunto Vazio
|
||
- o conjunto vazio pode ser contruído em notação de conjuntos utilizando condições impossíveis, como por exemplo: `∅ = { x : x ≠ x }`, ou `∅ = { x : x ∈ N, x < 0 }`
|
||
- o conjunto vazio é sempre único (ou seja, existe um e apenas um conjunto vazio)
|
||
- o conjunto vazio é subconjunto de todos os conjuntos
|
||
- a cardinalidade do conjunto vazio é `0`, ou seja, `|∅| = 0`.
|
||
|
||
## Representando conjuntos
|
||
|
||
### Definição Literal
|
||
Um conjunto pode ser contruído literalmente fornecendo uma lista completa dos itens contigos no conjunto. Por exemplo `S = { a, b, c, d }`
|
||
|
||
Listas longas podem ser encurtadas com reticências, desde que o contexto seja claro. Por exemplo, `E = { 2, 4, 6, 8, ... }` é claramente o conjunto de todos os números pares, contendo um número infinito de objetos, embora só tenhamos escrito explicitamente quatro deles.
|
||
|
||
### Definição por compreensão
|
||
Conjuntos também podem ser descritos de uma maneira mais descritiva, baseando-se em sujeito e predicado, de forma tal que `S = {sujeito : predicado}`. Por exemplo:
|
||
|
||
```
|
||
A = { x : x é uma vogal } = { a, e, i, o, u } (lê-se x, tal que x é uma vogal)
|
||
B = { x : x ∈ N, x < 10 } = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
|
||
C = { x : x = 2k, k ∈ N } = { 0, 2, 4, 6, 8, ... }
|
||
```
|
||
|
||
Ou pode-se também aplicar uma função ao sujeito, ex:
|
||
|
||
```
|
||
D = { 2x : x ∈ N } = { 0, 2, 4, 6, 8, ... }
|
||
```
|
||
|
||
## Relações
|
||
|
||
### Pertencimento
|
||
- Se um valor `a` está contido num conjunto `A`, então dizemos que `a` pertence a `A` e denotamos por `a ∈ A`
|
||
- Se o valor `a` não está contido no conjunto `A`, então dizemos que `a` não pertence a `A` e denotamos por `a ∉ A`
|
||
|
||
### Igualdade
|
||
- Se dois conjuntos contém os mesmos itens, então dizemos que os conjuntos são iguals, ex. `A = B`
|
||
- A ordenação não importa quando vamos avaliar a igualdade, ex: `{ 1, 2, 3, 4 } = { 2, 3, 1, 4 }`
|
||
- Conjuntos são disjuntos, o que significa que os elementos não podem ser repetidos, ex: `{ 1, 2, 2, 3, 4, 3, 4, 2 } = { 1, 2, 3, 4 }`
|
||
- Dois conjuntos `A` e `B` são iguais se, e somente se, `A ⊆ B` e `B ⊆ A`
|
||
|
||
### Conjuntos especiais
|
||
O Conjunto das Partes
|
||
- Seja `A` um conjunto qualquer. O conjunto que contém todos os possíveis subconjuntos de `A` é chamado "conjunto das partes" e é denotado como `P(A)`. Se o conjunto `A` contém `n` elementos, então o conjunto das partes conterá `2^n` elementos.
|
||
|
||
```
|
||
P(A) = { x : x ⊆ A }
|
||
```
|
||
|
||
## Operações entre dois conjuntos
|
||
|
||
### União
|
||
Dados dois conjuntos `A` e `B`, a união entre esses dois conjuntos são os itens que aparecem em `A` ou em `B`, denotado por `A ∪ B`.
|
||
|
||
```
|
||
A ∪ B = { x : x ∈ A ∪ x ∈ B }
|
||
```
|
||
|
||
### Interseção
|
||
Dados dois conjuntos `A` e `B`, a interseção entre esses dois conjuntos são os itens que aparecem em `A` e em `B`, denotado por `A ∩ B`.
|
||
|
||
```
|
||
A ∩ B = { x : x ∈ A, x ∈ B }
|
||
```
|
||
|
||
### Diferença
|
||
Dados dois conjuntos `A` e `B`, o conjunto da diferença entre `A` e `B` são todos os itens de `A` que não pertencem a `B`.
|
||
|
||
```
|
||
A \ B = { x : x ∈ A, x ∉ B }
|
||
```
|
||
|
||
### Diferença simétrica
|
||
Dados dois conjuntos `A` e `B`, a diferença simétrica são todos os itens entre `A` e `B` que não aparecem na interseção desses dois conjuntos.
|
||
|
||
```
|
||
A △ B = { x : ((x ∈ A) ∩ (x ∉ B)) ∪ ((x ∈ B) ∩ (x ∉ A)) }
|
||
|
||
A △ B = (A \ B) ∪ (B \ A)
|
||
```
|
||
|
||
### Produto Cartesiano
|
||
Dados dois conjuntos `A` e `B`, o produto cartesiano de `A` e `B` consiste no conjunto contendo todas as combinações dos itens de `A` e `B`.
|
||
|
||
```
|
||
A × B = { (x, y) | x ∈ A, y ∈ B }
|
||
```
|
||
|
||
|