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Lambda 演算
Lambda 演算(lambda calculus, λ-calculus), 最初由阿隆佐·邱奇(Alonzo Church)提出, 是世界上最小的编程语言. 尽管没有数字, 字符串, 布尔或者任何非函数的数据类型, lambda 演算仍可以表示任何图灵机.
Lambda 演算由三种元素组成: 变量(variables)、函数(functions)和应用(applications)。
| 名称 | 语法 | 示例 | 解释 |
|---|---|---|---|
| 变量 | <变量名> |
x |
一个名为"x"的变量 |
| 函数 | λ<参数>.<函数体> |
λx.x |
一个以"x"(前者)为参数、以"x"(后者)为函数体的函数 |
| 应用 | <函数><变量或函数> |
(λx.x)a |
以"a"为参数调用函数"λx.x" |
最基本的函数为恒等函数: λx.x, 它等价于f(x) = x.
第一个"x"为函数的参数, 第二个为函数体.
自由变量和约束变量:
- 在函数
λx.x中, "x"被称作约束变量因为它同时出现在函数体和函数参数中. - 在
λx.y中, "y"被称作自由变量因为它没有被预先声明.
求值:
求值操作是通过β-归约(β-Reduction)完成的, 它本质上是词法层面上的替换.
当对表达式(λx.x)a求值时, 我们将函数体中所有出现的"x"替换为"a".
(λx.x)a计算结果为:a(λx.y)a计算结果为:y
你甚至可以创建高阶函数:
(λx.(λy.x))a计算结果为:λy.a
尽管 lambda 演算传统上仅支持单个参数的函数, 但我们可以通过一种叫作柯里化(Currying)的技巧创建多个参数的函数.
(λx.λy.λz.xyz)等价于f(x, y, z) = ((x y) z)
有时λxy.<body>与λx.λy.<body>可以互换使用.
认识到传统的 lambda 演算没有数字, 字符或者任何非函数的数据类型很重要.
布尔逻辑:
在 lambda 演算中没有"真"或"假". 甚至没有 1 或 0.
作为替换:
T表示为: λx.λy.x
F表示为: λx.λy.y
首先, 我们可以定义一个"if"函数λbtf, 它当b为真时返回t,
b为假时返回f
IF等价于: λb.λt.λf.b t f
通过IF, 我们可以定义基本的布尔逻辑运算符:
a AND b等价于: λab.IF a b F
a OR b等价于: λab.IF a T b
NOT a等价于: λa.IF a F T
注意: IF a b c本质上指: IF((a b) c)
数字：
尽管 lambda 演算中没有数字, 我们还可以用邱奇编码(Church numerals)将数字嵌入到 lambda 演算中.
对于任意数字 n: n = λf.fn 所以:
0 = λf.λx.x
1 = λf.λx.f x
2 = λf.λx.f(f x)
3 = λf.λx.f(f(f x))
要增加一个邱奇数, 我们使用后继函数S(n) = n + 1:
S = λn.λf.λx.f((n f) x)
使用后继函数, 我们可以定义加法:
ADD = λab.(a S)b
挑战: 试定义乘法函数!
变得更小: SKI, SK 和 Iota
SKI 组合子演算
令 S, K, I 为下列函数:
I x = x
K x y = x
S x y z = x z (y z)
我们可以将 lambda 演算中的表达式转换为 SKI 组合子演算中的表达式:
λx.x = Iλx.c = Kcλx.(y z) = S (λx.y) (λx.z)
以邱奇数 2 为例:
2 = λf.λx.f(f x)
对于里面的部分 λx.f(f x):
λx.f(f x)
= S (λx.f) (λx.(f x)) (case 3)
= S (K f) (S (λx.f) (λx.x)) (case 2, 3)
= S (K f) (S (K f) I) (case 2, 1)
所以:
2
= λf.λx.f(f x)
= λf.(S (K f) (S (K f) I))
= λf.((S (K f)) (S (K f) I))
= S (λf.(S (K f))) (λf.(S (K f) I)) (case 3)
对于第一个参数λf.(S (K f))有:
λf.(S (K f))
= S (λf.S) (λf.(K f)) (case 3)
= S (K S) (S (λf.K) (λf.f)) (case 2, 3)
= S (K S) (S (K K) I) (case 2, 3)
对于第二个参数λf.(S (K f) I)有：
λf.(S (K f) I)
= λf.((S (K f)) I)
= S (λf.(S (K f))) (λf.I) (case 3)
= S (S (λf.S) (λf.(K f))) (K I) (case 2, 3)
= S (S (K S) (S (λf.K) (λf.f))) (K I) (case 1, 3)
= S (S (K S) (S (K K) I)) (K I) (case 1, 2)
综上:
2
= S (λf.(S (K f))) (λf.(S (K f) I))
= S (S (K S) (S (K K) I)) (S (S (K S) (S (K K) I)) (K I))
如果展开这个表达式, 我们最终又会得到邱奇数 2 的相同的表达式.
SK 组合子演算
SKI 组合子演算还可以进一步简化. 我们可以通过I = SKK移除 I 组合子.
我们可以将所有的 I 替换为 SKK.
ι 组合子
SK 组合子仍不是最简的. 定义:
ι = λf.((f S) K)
我们有:
I = ιι
K = ι(ιI) = ι(ι(ιι))
S = ι(K) = ι(ι(ι(ιι)))