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集合论是数学的一个分支，研究集合、它们的运算和它们的性质。
- 集合由不重复的项组成。
基本符号
运算符
- 并运算符，
∪，表示“或”； - 交运算符，
∩，表示“且”； - 差运算符，
\，表示“不包括”； - 补运算符，
'，表示补集; - 叉积运算符，
×，表示笛卡尔积。
限定词
- 冒号限定词，
:，表示“使得”； - 从属限定词，
∈，表示“属于”； - 子集限定词，
⊆，表示“是……的子集”; - 真子集限定词，
⊂，表示“是……的真子集”。
重要的集合
∅，空集，即不包含任何元素的集合；ℕ，自然数集；ℤ，整数集；ℚ，有理数集；ℝ，实数集。
关于以上集合，有如下几点需要注意：
- 空集是其本身的子集（并且也是任何其他集合的子集），即便空集不包含任何项；
- 数学家们对于零是否为自然数的看法通常并不统一，教科书一般会明确说明作者是否认为零是自然数。
基数
集合的基数，或者说大小，由该集合中的项目数量决定。基数运算符为 |...|。
例如，若 S = { 1, 2, 4 }，则 |S| = 3。
空集
- 可以在集合符号中使用不成立的条件来构造空集，例如，
∅ = { x : x ≠ x }，或∅ = { x : x ∈ N, x < 0 }； - 空集总是唯一的（即，有且只有一个空集）；
- 空集是所有集合的子集；
- 空集的基数为 0，即
|∅| = 0。
集合的表示
集合的逐项构造
集合可以通过包含其全部项的列表逐项生成。例如，S = { a, b, c, d }。
只要构成集合的项清楚，长列表可以用省略号缩短。例如，E = { 2, 4, 6, 8, ... } 显然为所有偶数构成的集合，它包含无穷多项，虽然我们只显式写出了其中四项。
集合构造器
集合构造器符号是构造集合的一种更具描述性的方式。它依赖于一个主语和一个谓词，使得 S = { 主语 : 谓词 }。 例如，
A = { x : x 是元音字母 } = { a, e, i, o, u, y}
B = { x : x ∈ N, x < 10 } = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
C = { x : x = 2k, k ∈ N } = { 0, 2, 4, 6, 8, ... }
有时，谓词可能会 "漏 "到主语中，例如，
D = { 2x : x ∈ N } = { 0, 2, 4, 6, 8, ... }
关系
从属关系
- 如果值
a包含在集合A中，那么我们说a属于A，并用符号表示为a ∈ A。 - 如果值
a不包含于集合A中，那么我们说a不属于A，并用符号表示为a ∉ A。
相等关系
- 如果两个集合包括相同的项，那么我们说这两个集合相等，例如，
A = B。 - 集合的相等关系于顺序无关，例如
{ 1, 2, 3, 4 } = { 2, 3, 1, 4 }。 - 集合中的元素不能重复，例如
{ 1, 2, 2, 3, 4, 3, 4, 2 } = { 1, 2, 3, 4 }。 - 集合
A与B相等当且仅当A ⊆ B且B ⊆ A。
特殊集合
幂集
- 令
A为任意集合。幂集指的是包括了A的所有子集的集合，记作P(A)。如果集合A由2n个元素组成，那么P(A)中有2^n个元素。
P(A) = { x : x ⊆ A }
两个集合的运算
并
给定集合 A 和 B，两个集合的并由出现在 A 或 B 中的项构成，记作 A ∪ B。
A ∪ B = { x : x ∈ A ∪ x ∈ B }
交
给定集合 A 和 B，两个集合的交由出现在 A 和 B 中的项构成，记作 A ∩ B。
A ∩ B = { x : x ∈ A, x ∈ B }
差
给定集合 A 和 B，A 对于 B 的集合差指的是属于 A 但不属于 B 的每一项。
A \ B = { x : x ∈ A, x ∉ B }
对称差
给定集合 A 和 B，对称差指的是属于 A 或 B 但不属于它们交集的所有项。
A △ B = { x : ((x ∈ A) ∩ (x ∉ B)) ∪ ((x ∈ B) ∩ (x ∉ A)) }
A △ B = (A \ B) ∪ (B \ A)
笛卡尔积
给定集合 A 和 B，A 和 B 的笛卡尔积由 A 和 B 的项的所有组合构成。
A × B = { (x, y) | x ∈ A, y ∈ B }